جواب کاردرکلاس صفحه 55 حسابان دوازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام قضیه 5 صفحه 55 حسابان دوازدهم این قضیه، رفتار **حد جمع و ضرب** دو تابع را در حالتی که حد یکی از آن‌ها **نامتناهی** و دیگری **متناهی** است، مشخص می‌کند. این یک قانون بسیار مهم در محاسبه حد است. 🚀 --- ### 📝 قضیه 5: قواعد عمل روی حدود نامتناهی فرض کنید $\lim_{x \to a} f(x) = +\infty$ و $\lim_{x \to a} g(x) = L$ (که $L$ یک عدد حقیقی است). #### الف) حد جمع ($\infty + L$) * $\lim_{x \to a} (f(x) + g(x)) = +\infty$ * **توضیح مفهومی:** وقتی یکی از توابع به طور نامحدود بزرگ می‌شود ($+\infty$)، اضافه کردن یک عدد ثابت $L$ (هر چند بزرگ) تأثیری بر بی‌نهایت بودن حد ندارد. (مانند: بی‌نهایت + 5 = بی‌نهایت) #### ب) حد ضرب ($\infty \cdot L$ با $L>0$) * اگر $L > 0$ باشد، آنگاه $\lim_{x \to a} (f(x) \cdot g(x)) = +\infty$ * **توضیح مفهومی:** ضرب یک عدد بسیار بزرگ مثبت ($+\infty$) در یک عدد مثبت $L$ (مثل 2) باعث می‌شود حد همچنان نامحدود و مثبت باقی بماند. (مانند: $(+\infty) \times 2 = +\infty$) #### پ) حد ضرب ($\infty \cdot L$ با $L<0$) * اگر $L < 0$ باشد، آنگاه $\lim_{x \to a} (f(x) \cdot g(x)) = -\infty$ * **توضیح مفهومی:** ضرب یک عدد بسیار بزرگ مثبت ($+\infty$) در یک عدد منفی $L$ (مانند $-3$) باعث می‌شود حاصل ضرب بسیار بزرگ و **منفی** شود. (مانند: $(+\infty) \times (-3) = -\infty$) | عمل | حالت حد | نتیجه | |:---:|:---:|:---:| | جمع | $\infty + L$ | $\infty$ (هم علامت با $\infty$) | | ضرب | $(+\infty) \cdot (L>0)$ | $+\infty$ | | ضرب | $(+\infty) \cdot (L<0)$ | $-\infty$ |

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس 1 صفحه 55 حسابان دوازدهم برای بازنویسی قضیه 5 در حالت $\lim_{x \to a} f(x) = -\infty$، باید قواعد عمل با بی‌نهایت را هنگام منفی بودن حد، اعمال کنیم. در این حالت، علامت‌ها برعکس می‌شوند. 🔄 --- ### 📝 قضیه 5 برای حالت $\lim_{x \to a} f(x) = -\infty$ اگر $\lim_{x \to a} f(x) = -\infty$ و $\lim_{x \to a} g(x) = L$ (که $L$ یک عدد حقیقی است) آنگاه: #### الف) حد جمع ($-\infty + L$) * **قاعده:** $\lim_{x \to a} (f(x) + g(x)) = -\infty$ * **توضیح:** افزودن یک عدد ثابت $L$ به منفی بی‌نهایت، همچنان منفی بی‌نهایت باقی می‌ماند. (مانند: $-\infty + 10 = -\infty$) #### ب) حد ضرب ($-\infty \cdot L$ با $L>0$) * **قاعده:** اگر $L > 0$ باشد، آنگاه $\lim_{x \to a} (f(x) \cdot g(x)) = -\infty$ * **توضیح:** ضرب یک عدد بسیار بزرگ منفی ($-\infty$) در یک عدد مثبت $L$ (مثلاً 5)، حاصل را منفی بی‌نهایت نگه می‌دارد. (مانند: $(-\infty) \times 5 = -\infty$) #### پ) حد ضرب ($-\infty \cdot L$ با $L<0$) * **قاعده:** اگر $L < 0$ باشد، آنگاه $\lim_{x \to a} (f(x) \cdot g(x)) = +\infty$ * **توضیح:** ضرب یک عدد بسیار بزرگ منفی ($-\infty$) در یک عدد منفی $L$ (مثلاً $-2$)، حاصل را مثبت بی‌نهایت می‌کند. (مانند: $(-\infty) \times (-2) = +\infty$) | عمل | حالت حد | نتیجه | |:---:|:---:|:---:| | جمع | $-\infty + L$ | $-\infty$ | | ضرب | $(-\infty) \cdot (L>0)$ | $-\infty$ | | ضرب | $(-\infty) \cdot (L<0)$ | $+\infty$ |

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس 2 صفحه 55 حسابان دوازدهم برای محاسبه این حدود، ابتدا باید با جایگذاری مستقیم نوع ابهام را تعیین کنیم. اگر به فرم $\frac{L}{0}$ برسیم، از قوانین حد نامتناهی (قضیه 5 و حالت‌های آن) استفاده می‌کنیم. 🔢 --- ### الف) $\lim_{x \to 2^+} \frac{x + 1}{x - 2}$ #### گام 1: بررسی صورت و مخرج (جایگذاری مستقیم) $$\lim_{x \to 2^+} (x + 1) = 2 + 1 = 3 \quad (L=3)$$ $$\lim_{x \to 2^+} (x - 2) = 0^+ \quad (x \to 2^+ \implies x > 2 \implies x-2 > 0)$$ **قضیه مورد استفاده:** قضیه حد خارج قسمت توابع (حالت $\frac{L}{0^+}$) #### گام 2: محاسبه نهایی $$\lim_{x \to 2^+} \frac{x + 1}{x - 2} = \frac{3}{0^+} = +\infty$$ **قضیه مورد استفاده:** تعریف حد نامتناهی. **جواب نهایی (الف):** $\mathbf{+\infty}$ --- ### ب) $\lim_{x \to 0^+} \frac{x^2 + x}{x^2}$ این حد در ابتدا به فرم $\frac{0}{0}$ است و باید ساده شود. #### گام 1: ساده‌سازی کسر $$\lim_{x \to 0^+} \frac{x(x + 1)}{x^2} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x + 1}{x}$$ **قضیه مورد استفاده:** حذف عامل صفر کننده (ساده‌سازی جبری). #### گام 2: بررسی صورت و مخرج (جایگذاری مستقیم) $$\lim_{x \to 0^+} (x + 1) = 0 + 1 = 1 \quad (L=1)$$ $$\lim_{x \to 0^+} x = 0^+ \quad (x \to 0^+ \implies x > 0)$$ **قضیه مورد استفاده:** قضیه حد خارج قسمت توابع (حالت $\frac{L}{0^+}$). #### گام 3: محاسبه نهایی $$\lim_{x \to 0^+} \frac{x + 1}{x} = \frac{1}{0^+} = +\infty$$ **قضیه مورد استفاده:** تعریف حد نامتناهی. **جواب نهایی (ب):** $\mathbf{+\infty}$ --- ### پ) $\lim_{x \to -2^-} \frac{x + 2}{x^2 + 4x + 4}$ این حد نیز در ابتدا به فرم $\frac{0}{0}$ است و باید ساده شود. #### گام 1: ساده‌سازی کسر (اتحاد مربع کامل) $$\lim_{x \to -2^-} \frac{x + 2}{(x + 2)^2} = \lim_{x \to -2^-} \frac{1}{x + 2}$$ **قضیه مورد استفاده:** حذف عامل صفر کننده (ساده‌سازی جبری). #### گام 2: بررسی مخرج و محاسبه نهایی ما در حال نزدیک شدن به $-2$ از سمت **چپ** هستیم. یعنی $x$ کمی از $-2$ **کوچکتر** است (مثلاً $x = -2.001$). $$x < -2 \implies x + 2 < 0$$ $$\lim_{x \to -2^-} (x + 2) = 0^-$$ (یک عدد بسیار کوچک منفی) $$\lim_{x \to -2^-} \frac{1}{x + 2} = \frac{1}{0^-} = -\infty$$ **قضیه مورد استفاده:** تعریف حد نامتناهی. **جواب نهایی (پ):** $\mathbf{-\infty}$ --- ### ت) $\lim_{x \to 0^-} \frac{2 - \cos 2x}{x}$ این حد به فرم $\frac{L}{0}$ است، پس حد آن نامتناهی است. باید علامت صورت و مخرج را تعیین کنیم. #### گام 1: بررسی صورت (Numerator) $$\lim_{x \to 0^-} (2 - \cos 2x) = 2 - \cos(0) = 2 - 1 = 1 \quad (L=1)$$ **قضیه مورد استفاده:** قضیه حد توابع پیوسته (جایگذاری مستقیم). #### گام 2: بررسی مخرج (Denominator) ما در حال نزدیک شدن به $0$ از سمت **چپ** هستیم. یعنی $x$ کمی از $0$ **کوچکتر** است (مثلاً $x = -0.001$). $$\lim_{x \to 0^-} x = 0^-$$ (یک عدد بسیار کوچک منفی) #### گام 3: محاسبه نهایی $$\lim_{x \to 0^-} \frac{2 - \cos 2x}{x} = \frac{1}{0^-} = -\infty$$ **قضیه مورد استفاده:** قضیه حد خارج قسمت توابع (حالت $\frac{L}{0^-}$). **جواب نهایی (ت):** $\mathbf{-\infty}$